Основы компьютерной графики

Предисловие

Сейчас не сложно найти информацию по компьютерной графике. Все уже изложено, описано, и ничего нового в этой статье я не расскажу. Никакого смысла писать статью до недавнего времени не было, пока не появилась статья «Продвинутая графика». Изначально я думал, что автор данной статьи, просто решил не выкладывать теории, а реализовал только практическую часть, на что я и указал в комментариях, что неплохо бы привести ссылку на теорию, и привел примеры тригонометрических преобразований, которые были упущены в статье. На что получил довольно странный ответ, что я оказывается, замкнут в тех знаниях, которые дали мне: школа, институт, самообразование, а для новых знаний я совершенно закрыт. А вот автор не несет на себе столь тяжкий груз знаний и поэтому перед ним открывается мир полный волшебства.

Дальше новатор заявил, что подобное преобразование классическим способом сделать невозможно.

В очередной раз убедился, что дискутировать с подобными личностями бесполезно, все аргументы разбиваются в пропасти отсутствия знаний. Если человек не знаком с тригонометрией, невозможно ему объяснить тригонометрические преобразования.

По ключевым словам «1С, графика» теперь поисковик выдаст столь интересную статью на инфостарте, потом найдется деятель, который напишет статью на другом ресурсе: «1С-ник – не программист, на примере компьютерной графики».

Теория

Все преобразования в данной статье будут рассматриваться в 2-мерной системе координат. Сразу отмечу, что преобразования в 3-мерной системе координат сильно не отличаются. Как правило объекты перемещаются и вращаются. С перемещением в декартовой системе координат все просто — координаты точек изменяются простым и понятным образом. Операция поворот – намного сложнее. Как выполнить преобразование поворот? Вычислить длину вектора, найти текущий угол, добавить угол поворота, получить новые координаты – сложно, но можно упростить.

Рассмотрим поворот точки А на угол d. Начальное положение точки рассмотрим, относительно точки А0 — вектор с 0 градусом поворота. Тогда координаты точки A будут равны:

x = x0 * cos(c)

y = x0 * sin(c)

Координаты точки A1 будут равны

x1 = x0 * cos(c + d)

y1 = x0 * sin(c + d)

cos(c + d) = cos (c) * cos(d) — sin(c) * sin(d)

sin(c + d) = sin(c) * cos(d) + sin(d) * cos(c)

x1 = x0 *cos (c) * cos(d) — x0 *sin(c) * sin(d)

x1 = x * cos (d) – y * sin(d)

y1 = x0 * sin(c) * cos(d) + x0 * sin(d) * cos(c)

y1 = y * cos(d) + x * sin(d)

Получившиеся выражения мы можем представить в виде произведения матриц

Надеюсь в этом месте многим в голову пришел вопрос: «Зачем приводить к произведению матриц?».

Дело в том что у произведения матриц есть свойство ассоциативности, которое выглядит следующим образом  A * B * C = A * (B * C). Всего-то порядок действий изменился, но это свойство окажется очень полезным в компьютерной графике, к нему вернемся позже.

Как уже многие догадались, все преобразования мы будем приводить к произведению матриц, с поворотом уже все ясно, как же выполнять остальные преобразования, например, перемещение.

Делается это следующим образом – матрицу точек будем задавать тремя значениями (x, y, 1).

Теперь матрица поворота будет выглядеть следующим образом

Матрица перемещения

Где Tx, Ty смещение по x и y.

Матрица масштабирования

Это далеко не весь перечень возможных преобразований, но на этом остановимся, дальше будем рассматривать на примерах.

Примеры графических преобразований

Для демонстрации примеров работы с графикой, я создал обработку в управляемом интерфейсе «графика.epf».

Работать мы будем всего с двумя объектами: окружность и квадрат. Каждый из объектов состоит из прямых линий,  линии — состоят из координат концов.

Начало координат я сместил примерно в центр, т.е. окружность расположена в начале координат.

Над квадратом мы будем выполнять следующие преобразования:

1. Вращение вокруг центра квадрата.
2. Вращение вокруг центра окружности.

Начальное положение квадрата – смещение по X на радиус сферы. Т.е. чтобы получить координаты нужно матрицу М каждой точки, умножить на матрицу преобразования – перемещения T1.

Теперь, допустим мы хотим повращать квадрат вокруг его центра, делать мы это будем следующим образом: сначала переместим квадрат M * T1, затем умножим на матрицу поворота R2

Теперь повернем квадрат относительно своего центра. Т.е. теперь мы должны матрицу М умножить на матрицу поворота R3

Затем умножить на матрицу перемещения T1, а потом снова на матрицу поворота R2.

Запишем в другой форме – матрицы преобразования вращения квадрата вокруг центра обозначим K с индексом, вокруг окружности O, а также перемещение квадрата на радиус окружности P.

Тогда преобразования примут вид:

M * K1 * K2 * … * KN * P * O1 * O2 * … ON

воспользуемся свойством ассоциативности

M * (K1 * K2 * … * KN) * (P * O1 * O2 * … ON)

т.е. нам не нужно хранить и каждый раз перемножить все матрицы преобразований, достаточно хранить матрицы преобразований на каждом этапе перехода к новой системе исчисления.

Для квадрата таковых три:

1. Вращение вокруг собственного центра (а также масштабирование);
2. Вращение по радиусу окружности;
3. Перемещение окружности (а также другие преобразования).

Другие преобразования — это, например, проецирование.

Не знаю где в двухмерной графике может применяться проецирование, но выглядит эффектно, преобразование работает и на окружность, и на квадрат.

Зато в трехмерной графике проецирование – вещь очень важная. Дело в том угол человеческого зрения – не прямой, а как раз мы видим проекцию, т.е. чем дальше от нас предмет, тем он меньше, подобным образом трехмерное изображение проецируется на плоскость монитора.

После умножения матрицы  координат точки на матрицу проецирования – изменится третье значение матрицы координат, которое обычно равняется 1. В  данном случае, третье значение будет отличаться от 1, матрица координат примет вид (x, y, s).  Что делать с третьим значением? Нужно каждую координату умножить на полученный коэффициент s.

Трехмерная графика

Если статья окажется интересной для посетителей Инфостарта, в следующей статье напишу про основы трехмерной графики, там тоже есть интересные моменты.

Тестирование проводилось на программных файлах 8.3.12.1529.